Teste do qui-quadrado
O teste padrão para “estas 37 contagens são o que uma roda equilibrada produziria?”
χ² = Σ (observado − esperado)² / esperado sobre os 37 compartimentos. Compare com a distribuição do qui-quadrado com 36 graus de liberdade para obter um valor-p.
Como calcular
A contagem esperada por compartimentoequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: casela.Ler tudo → é n/37. Para cada compartimento, eleve ao quadrado a diferença entre o observado e o esperado e divida pelo esperado; some os 37 termos. Uma roda equilibrada dá valores em torno de 36 em média (os graus de liberdadelaboratórioGraus de liberdadeO número de valores independentes em uma estatística. Em um teste do qui-quadrado com 37 compartimentos são 36, porque as contagens precisam somar o total.Ler tudo →), com um desvio padrãomatemáticaDesvio padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → de cerca de 8,5. Acima de 51,0 é significativo ao nível de 5%; acima de 58,6, a 1%. O Analisador de viés da roda calcula a estatística e o valor-plaboratórioValor-pA probabilidade de observar um desvio pelo menos tão grande quanto o observado se a roda fosse equilibrada.Ler tudo → exato a partir da função gama incompleta regularizada.
Um exemplo resolvido
1.000 giros. Trinta e seis compartimentos ficam entre 20 e 34 acertos; o compartimento 8 tem 41. O esperado é 27,03. Só o termo do compartimento 8 é (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Suponha que os outros 36 termos somem 38 (típico). χ² = 45,2 com 36 gl, p ≈ 0,14. Não é significativo: uma roda equilibrada faz isso uma vez em cada sete. O compartimento 8 é um candidato, não uma conclusão, e a resposta é mais mil giros.
Pressupostos
Giros independentesmatemáticaGiros independentesCada giro tem as mesmas probabilidades, independentemente do histórico. A base de todos os cálculos deste site.Ler tudo → e contagens esperadas de pelo menos 5 por compartimento, o que significa n ≥ 185 para que o teste seja minimamente válido e muito mais para que seja útil. Juntar giros de várias rodas viola, em espírito, o primeiro pressuposto (você está testando uma mistura, não uma roda). Um efeito de assinatura do crupiê o violaria de fato e inflaria o χ² sem que nenhum compartimento fosse fisicamente favorecido.
Pearson e Monte Carlo
Karl Pearson publicou o teste em 1900, e um dos seus primeiros exemplos resolvidos foram 26.306 giros de roleta registrados em Monte Carlo, que ele considerou pouco uniformes demais para serem fruto do acaso, declarando que “a roleta de Monte Carlo… não é um jogo de azar”. Autores posteriores concluíram que os jornalistas que registraram os giros para um jornal tinham inventado muitos deles, o que é, por si só, uma lição sobre a procedência dos dados.
Pearson publica o teste de aderência do qui-quadrado, com giros de Monte Carlo como exemplo.
Os dados dos giros são questionados; quem os registrou parece ter fabricado sequências.
Fisher formaliza os graus de liberdade; a convenção dos 5% se consolida.
Os estatísticos usam giros de roleta como dados de livro didático para testes de uniformidade.
A família García-Pelayo aplica o método a dados reais registrados e ganha em Madri.
Os cassinos aplicam o mesmo teste às próprias rodas como manutenção de rotina.
Um teste real: rodas automáticas em Las Vegas
Os jogadores muitas vezes desconfiam de que uma roda automática desvia a bolaequipamentoBolaA pequena bola lançada ao longo da pista no sentido contrário ao do rotor. As bolas modernas são de ivorine ou de Teflon, com 18–21 mm.Ler tudo → das apostas grandes. Em 2017, o Wizard of Odds pôs essa desconfiança à prova nas rodas de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → sem crupiê da Interblock, em Las Vegas, apostando em um arco de cinco números vizinhos, o tipo de aposta que um cronometrista de rodas faz. Em 299 giros, o arco ganhou 29 vezes, contra 39,3 esperadas, um déficit que uma roda equilibrada produz cerca de 4% das vezes. O qui-quadrado sobre os 38 compartimentos foi 45,29 com 37 graus de liberdade: p = 16,5%. Uma segunda amostra de 1.204 giros em três rodas deu χ² = 34,79, p = 57%, e nenhum arco, de nenhum dos tamanhos que ele testou, foi significativo. As duas amostras juntas, 1.503 giros, deram χ² = 41,75, p = 27%. O veredito: nenhuma evidência de direcionamento. A primeira amostra, sozinha, parecia suspeita; foi a segunda que resolveu a questão.
Além do qui-quadrado
Para um único compartimento suspeito, um teste binomial tem mais poder. Para um arco suspeito, o teste z de setorrodaSetorUm arco contínuo de compartimentos na roda, em oposição a um grupo no pano.Ler tudo → da página de análise de setores. O qui-quadrado é o teste global: diz que algo está errado sem dizer o quê. Use-o primeiro e observe depois.
Fórmula
Perguntas
As 37 contagens têm de somar n, por isso só 36 podem variar livremente.
Uma roda com um compartimento a 1/25 em 10.000 giros daria, sozinho, um termo de cerca de 70 nesse compartimento; um χ² muito acima de 100, com p efetivamente zero.
Tecnicamente sim, com 5,4 esperados por compartimento. Não vai detectar nada, a não ser uma roda com um compartimento fechado com cola.
Pausa para rir
Some o quadrado das surpresas. Compare com 51,0.
Fontes
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”