Rodas incomuns
Rodas com 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 ou 105 compartimentos. Uma única regra dá o preço de quase todas: a proporção de compartimentos que os pagamentos ignoram.
Quando os pagamentos são definidos como se os compartimentos da casa não existissem, a vantagem da casamatemáticaVantagem da casaA parte de cada aposta que o cassino retém em média: 2,70% na roleta europeia.Ler tudo → é o número de compartimentos da casa dividido pelo total de compartimentos, qualquer que seja o tamanho da roda. A maioria das rodas incomuns segue essa regra. As interessantes a quebram: um pagamento arredondado, uma rodada de bônus ou uma aposta que continua valendo por vários giros.
Uma regra para todas as rodas
A roleta europeiavarianteRoleta europeiaRoda de zero único, 37 compartimentos, vantagem da casa de 2,70%. O modelo de referência neste site.Ler tudo → paga 35 para 1 como se a roda tivesse 36 compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: casela.Ler tudo →. Ela tem 37, e o compartimento que falta é a vantagem de 2,70%. A mesma regra funciona em qualquer roda: com N números e Z compartimentos da casa, uma aposta em n números que paga (N − n)/n para 1 tem uma vantagem de Z/(N + Z). Rodas de todos os tamanhos foram construídas ou propostas com base nessa regra, e a tabela as coloca em ordem de preço.
Maior pode ser mais barato
Os jogadores veem uma roda de 62 compartimentos como uma aposta mais difícil e supõem um jogo pior. A vantagem depende apenas da proporção de compartimentos da casa. A Super 62 tem dois zerosrodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →, como a roda americana, mas são 2 em 62 compartimentos em vez de 2 em 38, por isso ela custa 3,23% contra 5,26%. A Roulette 73, com 72 números e um zero, custaria 1,37%, mais ou menos o mesmo que as apostas simples na francesa. Em uma roda pequena, a regra funciona ao contrário. Bollman imagina uma roda antiga de 18 compartimentos, do 1 ao 16 mais o 0 e o 00. Pela regra, todas as apostas custariam 2/18, 11,11%: dois compartimentos da casa são uma parte grande de uma roda pequena.
Onde a regra falha: arredondamentos
Um pagamentodinheiroPagamentoO que uma aposta vencedora rende, indicado como “X para 1”, além da aposta devolvida.Ler tudo → precisa ser um valor razoável em fichasdinheiroFichaUma peça que representa um valor fixo, colocada no pano para fazer uma aposta. Também: check (em inglês).Ler tudo →, e quando a regra dá uma fração o cassino arredonda para baixo. A aposta Avenue da 100 To 1 Roulette cobre 15 compartimentos e deveria pagar 5⅔ para 1; ela paga 11 para 2, o que sobe a sua vantagem de 4,76% para 7,14%. Na Super 62, sete números contêm o algarismo 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) e a aposta nesse algarismo paga 7 para 1, o que a coloca em 9,68%, o triplo do resto do panoequipamentoPanoA grade de apostas impressa na mesa. Também: mesa, feltro, layout.Ler tudo →. A aposta White da Riverboat Roulette cobre 8 números a 7 para 2; em uma mesa sem fichas de 50 centavos, um ganho de $5 é pago com $17 em vez de $17,50, o que sobe a vantagem de 5,26% para 7,37%. A aposta americana de cinco números, a 7,89%, é o caso conhecido da mesma coisa.
Onde a regra falha: bônus
A Fast Action Roulette, lançada no Marina Bay Sands em 2020, usa uma roda real com quatro zeros, que sozinha custaria 10%. Em cada giro, dez números Bonus se acendem ao acaso. Um plenoapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo → paga 35 para 1, 40 para 1 se o seu número for um número Bonus e 80 para 1 se toda a sua fileira de quatro for Bonus, o que o leva a 6,65%. As outras três apostas do jogo custam muito mais. A Double Bonus Spin da IGT acrescenta a uma roda americana um compartimento Bonus amarelo, com uma vez e meia a largura de um compartimento; quando a bolaequipamentoBolaA pequena bola lançada ao longo da pista no sentido contrário ao do rotor. As bolas modernas são de ivorine ou de Teflon, com 18–21 mm.Ler tudo → cai ali, todas as apostas recebem dois giros grátis. Pelas nossas contas, isso baixa a vantagem para entre 1,94% (um pleno) e 2,73% (aposta simples), abaixo da roda americana normal. Bollman (2021) indica de 3% a 16% para esse jogo; a sua fórmula simplificada tem um erro de álgebra e, nas apostas simplesapostaAposta simplesVermelho/preto, ímpar/par, alto/baixo. 18 números, paga 1:1.Ler tudo →, implica que os giros grátis perdem mais do que a aposta, o que é impossível.
Onde a regra falha: apostas que continuam valendo
A Riverboat Roulette (2012) deu uma segunda cor a 32 números de uma roda americana. O White marca os quatro compartimentos em volta de cada zero (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Uma aposta em um grupo de cor ganha se um dos seus números sair antes de um dos oito números White. Um número White é um “White Out”, que limpa todas as apostas de cor. Qualquer outro número é um empate: a aposta continua valendo e, entre os giros, pode ser retirada ou aumentada. O Teal cobre três números e paga 2 para 1. Por aposta resolvida, ele perde 2/11 da aposta, 18,18%. Por giro, perde 2/38, os conhecidos 5,26%, porque a aposta média continua valendo 38/11, cerca de 3,5 giros.
Uma roda que Thorp conseguia prever: a Big Six
A Big Six, ou roda da fortuna, é uma grande roda vertical com 54 segmentos: 24 pagam 1 para 1, 15 pagam 2 para 1, sete 5 para 1, quatro 10 para 1, dois 20 para 1, e dois segmentos de logotipo pagam 40 para 1. Não há zero; a casa fica com a sua parte pagando menos do que o justo, e a vantagem vai de 11,1% nos segmentos que pagam 1 para 1 a 24,1% nos logotipos. Em 1961, Thorp construiu para ela um preditor do tamanho de uma caixa de fósforos, acionado por um interruptor no dedo do pé, e em 1981, cronometrando uma volta de uma roda de cassino com um relógio de pulso, descobriu que normalmente conseguia indicar o ponto de parada com margem de cinco segmentos. Apostar só nos segmentos de pagamento alto perto da previsão teria rendido cerca de +211%, se as apostas fossem aceitas depois de a roda ser girada. Não são, e a roda gira devagar e à vista de todos, então uma aposta tardia seria óbvia; Thorp escreveu que o jogo tinha movimento de menos para escondê-la.
Por que tão poucas pegam
Uma roda profissional custa milhares de dólares, e uma roda com um número incomum de compartimentos precisa ser feita sob encomenda. Por isso, a maioria dos novos jogos de roleta mantém a roda normal e acrescenta apostas, e é por isso que a página das apostas paralelas é mais longa do que esta. A roda da águia de 31 compartimentos dos Estados Unidos do século XIX, a 12,90% em um número único e 9,68% em todo o resto, morreu do seu próprio preço. A ideia de um terceiro compartimento da casa voltou em 2016 em uma roda de 39 compartimentos, onde custa 7,69%.
Perguntas
Não por si só. A vantagem é a proporção de compartimentos da casa: 1 em 73 é mais barato do que 1 em 37.
A Roulette 73, a 1,37%, mas é um projeto publicado e não uma mesa que você provavelmente vá encontrar. Entre as rodas que já foram oferecidas aos jogadores, a Super 62, a 3,23%, vem logo depois da europeia e da francesa.
Um bônus precisa ser pago, normalmente com um corte no pagamento base ou com uma aposta separada com uma vantagem alta.
Matemática divertida
Tente resolver sozinho primeiro. Cada solução está escondida; abra quando estiver pronto.
A Royal Roulette, desenvolvida na Austrália, tem 50 compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: casela.Ler tudo →: as 48 cartas do 2 ao rei, mais um ás e um joker. Uma carta única paga 47 para 1, duas cartas 23 para 1, três 15 para 1, quatro 11 para 1, seis 7 para 1, oito 5 para 1, doze 3 para 1, dezesseis 2 para 1 e vinte e quatro 1 para 1. Qual regra produz esses pagamentosdinheiroPagamentoO que uma aposta vencedora rende, indicado como “X para 1”, além da aposta devolvida.Ler tudo →, e quanto custa cada aposta?
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Resposta Cada aposta em n cartas paga (48 − n)/n para 1, então todas as apostas custam 2/50 = 4%.
Teste a regra em algumas apostas: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Ela serve para as nove. A regra precifica a roda como se ela tivesse 48 compartimentos, então o ás e o joker são os dois compartimentos da casa, exatamente como o 0 e o 00 em uma roda americana.
Dois compartimentos da casa em 50 dão uma vantagem de 4%. Uma versão “europeia” tira o joker e mantém os pagamentos: um compartimento da casa em 49, uma vantagem de 2,04%.
A Super 62 tem uma aposta de que um algarismo escolhido aparece no número vencedor. Crie a mesma aposta para uma roda americana comum. Quantos dos números de 1 a 36 contêm cada algarismo, e quais pagamentos manteriam os 5,26% de sempre?
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Resposta Só os algarismos com 3 ou 4 números têm pagamentos exatos (11 para 1 e 8 para 1). Os algarismos 1, 2 e 3 não podem ser pagos de forma justa em fichasdinheiroFichaUma peça que representa um valor fixo, colocada no pano para fazer uma aposta. Também: check (em inglês).Ler tudo → inteiras.
Conte os números. O algarismo 1 aparece no 1, do 10 ao 19, no 21 e no 31: 13 números. O algarismo 2 também está em 13 números, e o 3 em 10. Os algarismos 4, 5 e 6 estão em quatro números cada (4, 14, 24, 34), e o 7, o 8 e o 9 em três cada.
Uma aposta em n números mantém a vantagem americana se pagar (36 − n)/n para 1. Isso dá 8 para 1 para quatro números e 11 para 1 para três, ambos inteiros. Para 13 números, dá 23/13, cerca de 1,77 para 1, e para 10 números, 2,6 para 1. Arredonde 1,77 para baixo, para 7 para 4, e a aposta custa 5,92%; arredonde para cima, para 2 para 1, e o jogador fica com uma vantagem de 2,63%. Arredondar 2,6 para baixo, para 5 para 2, dá 7,89%.
O algarismo 0 é uma escolha: o 10, o 20 e o 30 sozinhos pagam 11 para 1 a 5,26%; acrescente o 0 e o 00 e ela vira uma aposta de cinco números, 6 para 1 a 7,89%, como a aposta de cinco númerosapostaQuatro primeirosEm uma roda de zero único: 0, 1, 2, 3 com uma ficha, paga 8:1. Também: basket, quatre premiers.Ler tudo → do pano.
algarismonúmerosa regra dápoderia pagarvantagem da casa1, 2131,77 para 17 para 45,92%3102,6 para 15 para 27,89%4, 5, 648 para 18 para 15,26%7, 8, 9311 para 111 para 15,26%A 100 To 1 Roulette paga (100 − n)/n para 1 na maioria das apostas, em uma roda de 100 números e 5 símbolos da casa. As apostas dela cobrem 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 ou 50 compartimentos e pagam 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 para 2, 4 e 1 para 1. O plenoapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo → e a Avenue de 15 compartimentos fogem à regra. Que outra aposta foge, e quanto ela custa?
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Resposta A aposta de três compartimentos: a regra dá 32⅓ para 1, ela paga 32 para 1 e custa 5,71% em vez de 4,76%.
Compare cada pagamento com a regra: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 e 50/50 = 1, todos batem. Para três compartimentos, a regra dá 97/3 = 32⅓, que nenhuma ficha consegue pagar, então é arredondado para baixo, para 32.
A aposta ganha 3 vezes em 105 giros e aí devolve 33 unidadesdinheiroUnidadeA aposta base com que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para valerem em qualquer mesa.Ler tudo →, aposta incluída: 3 × 33 = 99 unidades de volta para cada 105 apostadas, uma perda de 6/105 = 5,71%.
A Roulette 73, um projeto publicado, tem 72 números e um zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →, e todas as apostas pagam (72 − n)/n para 1. Os 24 números cinza dela podem ser cobertos com 14 fichas: 4 plenos e 10 cavalosapostaCavaloDois números adjacentes, paga 17:1.Ler tudo →. Quanto custa essa aposta de 14 fichas?
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Resposta 1,37% das 14 fichas, como qualquer outra aposta nessa roda.
O caminho longo: um pleno paga 71 para 1 e um cavalo, 35 para 1. Se sair um dos 4 números dos plenos, você ganha 71 e perde as outras 13 fichas: +58. Se sair um dos 20 números dos cavalos: +35 − 13 = +22. Nos outros 49 compartimentos, você perde as 14. Em média, em 73 giros: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 unidades, ou seja, 1/73 de cada ficha.
O caminho curto: os valores esperadosmatemáticaValor esperadoO resultado médio por aposta a longo prazo. −1/37 da aposta em todas as apostas padrão da roleta europeia.Ler tudo → se somam. Cada ficha é uma aposta comum que perde 1/73 de si mesma, então 14 fichas perdem 14/73. Combinar apostas muda a forma como os resultados se distribuem, nunca o que elas custam.
A Super 62 tem 60 números, o 0 e o 00, e paga (60 − n)/n para 1. Os criadores dela também a desenharam com um, três e quatro compartimentos da casa. A Alphabetic Roulette paga (24 − n)/n para 1 em 25 compartimentos e tem uma variante com o Y e o Z em compartimentos próprios. Calcule o preço das cinco.
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Resposta Com um a quatro zeros: 1,64%, 3,23%, 4,76% e 6,25%. A Alphabetic com o Y e o Z separados: 7,69%.
Cada uma delas mantém os pagamentos e só muda o número de compartimentos da casa, então a vantagem é compartimentos da casa ÷ total de compartimentos.
Um zero, 61 compartimentos: 1/61 = 1,64%. Dois, 62 compartimentos: 2/62 = 3,23%. Três, 63 compartimentos: 3/63 = 4,76%. Quatro, 64 compartimentos: 4/64 = 6,25%. Cada zero a mais custa cerca de um ponto e meio.
A Alphabetic paga como se tivesse 24 letras. Com o Y e o Z dividindo um compartimento, a casa tem 1 em 25, 4%. Com o Y e o Z separados, tem 2 em 26, 7,69%, tanto quanto uma roda de triplo zero. Dividir um compartimento em dois quase dobrou o preço.
rodacompartimentoscompartimentos da casavantagem da casa60 números, um zero6111,64%Super 626223,23%60 números, três zeros6334,76%Super 646446,25%Alfabética2514,00%Alfabética, Y e Z separados2627,69%Uma roda antiga tem 18 compartimentos: do 1 ao 16, o 0 e o 00. Os números ímpares e o 0 são vermelhosapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →, os pares e o 00 são pretosapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo →, e os 16 números ficam em um panoequipamentoPanoA grade de apostas impressa na mesa. Também: mesa, feltro, layout.Ler tudo → de 4 por 4. Crie uma tabela de pagamentosdinheiroTabela de pagamentosA lista do que paga cada aposta ou resultado. Nas máquinas e nas apostas paralelas, é nela que se define a vantagem da casa.Ler tudo → que dê a todas as apostas a mesma vantagem. E por que o 0 precisa perder uma aposta no vermelho, mesmo sendo vermelho?
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Resposta Pague (16 − n)/n para 1: 15 para 1 em um número, 7 em dois, 3 em quatro, 1 em oito. Todas as apostas custam 11,11%. Se o 0 ganhasse a aposta no vermelho, o vermelho seria uma aposta justa.
Precifique a roda como se o 0 e o 00 não existissem. Uma aposta em n números ganha n vezes em 18 e paga (16 − n)/n para 1, então devolve 16 unidades, aposta incluída, para cada 18 apostadas. Todas as apostas custam 2/18, 11,11%.
As apostas naturais do pano saem inteiras: um número 15 para 1, dois lado a lado 7 para 1, uma fileira ou uma colunaapostaColunaDoze números em uma coluna vertical do pano, paga 2:1.Ler tudo → de quatro 3 para 1, e duas fileiras, ou os oito ímpares, pares, baixos ou altos, 1 para 1. Uma aposta em três números precisaria de 4⅓ para 1; arredondada para baixo, para 4 para 1, custa 16,67%.
O vermelho cobre os oito números ímpares. Se o 0, por ser vermelho, também ganhasse a aposta no vermelho, o vermelho cobriria 9 dos 18 compartimentos a 1 para 1: um jogo justomatemáticaJogo justoUm jogo em que nenhum dos lados tem vantagem: todas as apostas têm valor esperado zero.Ler tudo →, sem vantagem nenhuma. Os compartimentos da casa só conquistam a vantagem deles perdendo todas as apostas, exceto uma aposta neles mesmos.
Pausa para rir
Conte os compartimentos da casa e depois procure o arredondamento.
Fontes
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”