O critério de Kelly e a roleta

O critério

John Kelly (1956) perguntou como um jogador com vantagem conhecida deve dimensionar as apostas para maximizar o crescimento da bancadinheiroBancaO valor total reservado para jogar. A gestão de banca consiste em decidir quanto dela arriscar por aposta e por sessão.Ler tudo → a longo prazo. A resposta, para uma aposta que paga b para 1, com probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de ganho p e probabilidade de perda q = 1 − p, é apostar a fração f* = (bp − q) / b da banca. Um f* positivo significa apostar essa fração; zero ou negativo significa não apostar. Kelly trabalhava no Bell Labs, e o artigo dele, “A new interpretation of information rate”, situou o problema na teoria da informação de Claude Shannon: um jogador que recebe dicas por uma linha com ruído, com odds justas, consegue fazer a banca crescer, no máximo, à taxa com que a linha transmite informação. Em 1961, Leo Breiman provou que a aposta de Kelly, a longo prazo, acaba superando qualquer estratégia essencialmente diferente e atinge uma meta fixada em praticamente o menor tempo possível.

Aplicado à roleta

Para o vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Para um plenoapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Todas as apostas padrão dão uma fração de Kelly negativa, porque todas as apostas têm vantagem negativa, e a aposta ótima para o crescimento é zero. Kelly é uma forma formal de dizer o que a página da vantagem da casa diz: não existe tamanho de aposta com o qual uma aposta de expectativa negativa faça uma banca crescer.

Onde Kelly se aplicava

Os jogadores de viés tinham uma vantagem e um problema de dimensionamento. Jagger, os García-Pelayo e os Eudaemons tiveram todos que decidir quanto apostar na vantagem que mediram, e apostar de menos desperdiça a vantagem, enquanto apostar demais arrisca a ruína antes de a vantagem aparecer. Para um compartimentoequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: casela.Ler tudo → que sai 1 vez em 30, Kelly indica 0,57% da banca por giro nesse número: com $10.000, cerca de $57 por giro, para um crescimento típico de cerca de 0,054% por giro, ou ×1,7 em 1.000 giros. O ganho médio é o dobro disso, 0,11% por giro, mas o critério de Kelly mira a banca típica, não a média, que algumas sequências de sorte inflam. Meio Kelly é a escolha prática habitual, porque a estimativa da vantagem é incerta.

Jogadores de roleta famososOs Eudaemons

Típico e médio

A distância entre a banca típica e a banca média é grande. Pegue um compartimento que sai 1 vez em 25, uma vantagem de 44%, o valor que Thorp dá para o seu aparelho. Kelly aposta nele 1,26% da banca. Depois de 1.000 giros, a banca típica cresceu cerca de 11,5 vezes, enquanto a média, puxada para cima por algumas sequências de muita sorte, cresceu cerca de 249 vezes. Apostar mais do que Kelly aumenta a média e reduz o resultado típico: com o dobro da aposta de Kelly, a banca típica só dobra, e com duas vezes e meia a aposta de Kelly ela já encolhe, embora cada aposta continue tendo uma vantagem de 44%. Apostar menos custa pouco: metade da aposta mantém cerca de três quartos do crescimento.

Quando a vantagem é um palpite

Kelly supõe que a vantagem é conhecida. Na mesa, ela é estimada, e a estimativa costuma ser alta demais. O exemplo de Epstein, construído sobre os 44% de Thorp, é um número que saiu 49 vezes em 1.225 giros de uma roda de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →: 1 vez em 25, uma vantagem de 44%, uma aposta de Kelly de 1,26%. Mas uma roda de duplo zero equilibrada tem 38 números, e o mais frequente deles chega a 49 ou mais em 1.225 giros cerca de uma vez em nove. O número mais frequente de qualquer registro é também aquele que a sorte mais ajudou, então até um compartimento realmente enviesado parece melhor no registro do que é: a maldição do vencedor. Se esse compartimento, na verdade, não tiver viés, a aposta de Kelly é simplesmente uma aposta que perde, em média, 5,26%. As respostas habituais são apostar uma fração de Kelly e continuar contando até a vantagem sobreviver a um registro novo (veja Como detectar o viés da roda).

Pessoas com vantagem

Conhecer a vantagem não é o mesmo que usá-la bem. Haghani e Dewey (2016) deram $25 a cada uma de 61 pessoas para apostar durante meia hora em uma moeda que, segundo lhes disseram, dava cara 60% das vezes, com ganhos limitados a $250 (os jogadores só ficavam sabendo do limite ao atingi-lo). Kelly manda apostar 20% da banca na cara todas as vezes, e os autores estimam que apostas constantes de 10–20% atingiriam o limite em cerca de 95% das vezes. Só 21% dos jogadores chegaram lá. 28% esgotaram a banca, 18 dos 61 apostaram tudo em um único lançamento, cerca de um terço terminou abaixo dos $25 com que começou, e o pagamentodinheiroPagamentoO que uma aposta vencedora rende, indicado como “X para 1”, além da aposta devolvida.Ler tudo → médio foi de $91. Só cinco dos 61 tinham ouvido falar do critério de Kelly. Com vantagem, o tamanho das apostas decide se você a conserva; sem ela, como em uma roda equilibrada, nenhum tamanho ajuda.

O que usar no lugar

Sem vantagem, o dimensionamento é uma questão de orçamento, não de crescimento: a aposta é o que você está disposto a gastar por giro, calculado a partir do orçamento por hora e do ritmo da mesa (página de gestão de banca). A contribuição de Kelly para o jogador comum é a clareza de sua resposta: zero. Tudo o que você apostar acima de zero é o preço de jogar, escolhido por você, não otimizado por nenhuma fórmula.

Uma nota sobre o Kelly fracionário e a “gestão de dinheiro”

Os sistemas vendidos como “Kelly para a roleta” que recomendam uma porcentagem fixa da banca por aposta são apostas fixasestratégiaAposta fixaApostar o mesmo valor em todos os giros. A referência com a qual todas as progressões são comparadas.Ler tudo → com uma aposta decrescente. Eles perdem 2,70% do volume de apostasdinheiroVolume de apostasO valor total apostado ao longo de uma sessão ou de um período, contando os ganhos reapostados. Também: handle, action.Ler tudo → e, como a aposta diminui à medida que você perde, tornam a ruína lenta em vez de improvável. É uma forma razoável de fazer um orçamento durar; não é Kelly, que diria para parar.

Aposta fixa

Fórmula

Perguntas