Problema: Quanto tempo até o zero
O zero sai em um giro a cada 37, em média. Quanto tempo você realmente espera, e o que isso faz com quem joga em apostas simples?
A espera pelo zero é geométrica: média de 37 giros, mediana de 25, e uma espera em cada vinte passa de 110 giros. Em uma sessão de 200 giros, quem joga em apostas simples espera 5,4 zeros e vai ver qualquer coisa entre 1 e 10.
O problema
O zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → tem probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de 1/37 por giro. (a) Qual é a probabilidade de não sair nenhum zero nos próximos 37 giros? (b) Qual é a espera mediana? (c) Em uma sessão de 200 giros com apostas simples, quantos zeros um jogador deve esperar, e qual é a faixa?
Soluções
(a) (36/37)³⁷ = 36,3%. Em mais de um terço das vezes, passam 37 giros sem nenhum zero, que é a mesma aritmética que faz “pelo menos um acerto em um plenoapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo → em 37 giros” ser só 63,7%. (b) A espera W é geométrica; p(W > k) = (36/37)ᵏ; a mediana é o k em que isso cruza 0,5, ou seja, k ≈ 25. Metade das esperas é de 25 giros ou menos e metade é mais longa; a média de 37 é puxada para cima pela cauda longa. (c) Os zeros em 200 giros seguem uma binomial com média 200/37 = 5,4 e desvio padrãomatemáticaDesvio padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. Uma faixa de 95% vai aproximadamente de 1 a 10.
O que o zero custa a quem joga em apostas simples
Cada zero custa uma aposta, e os zeros são toda a vantagem no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →: em 37 giros médios, os 18 ganhos e as 18 perdas se anulam, e o único zero é o −1/37. Em uma sessão de 200 giros a $10, os 5,4 zeros esperados custam $54, que é exatamente 200 × $10 / 37. Uma sessão com 2 zeros teve $34 de sorte; uma sessão com 9 zeros teve $36 de azar, e vai parecer manipulada. Em uma mesa com la partageregraLa partageRegra francesa: quando sai o zero, metade de uma aposta simples é devolvida. Reduz pela metade a vantagem da casa nessas apostas, para 1,35%.Ler tudo →, cada zero custa meia aposta e os valores caem pela metade.
A pergunta seguinte
Qual é a probabilidade de dois zeros seguidos? (1/37)² = 1/1.369. Em um cassino com 20 mesas a 50 giros por hora, isso dá cerca de um duplo zerovarianteDuplo zeroO compartimento 00 da roda americana. A presença dele eleva a vantagem da casa de 2,70% para 5,26%.Ler tudo → em algum lugar a cada 1,4 hora. Os jogadores que veem isso concluem que a roda está quebrada; a aritmética diz que é uma terça-feira qualquer.
Experimente
O Simulador de sessões conta os zeros por sessão. Rode 100 giros algumas centenas de vezes e faça o gráfico da contagem: vai aparecer o histograma acima, com sua cauda longa à direita. É da cauda que vêm as histórias.
Fórmula
Perguntas
Não em uma roda equilibrada. Em uma roda enviesadalaboratórioRoda enviesadaUma roda cujos defeitos físicos tornam alguns compartimentos mais prováveis que 1/37. Rara, detectável apenas com milhares de giros registrados.Ler tudo →, qualquer compartimentoequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: casela.Ler tudo → poderia ser, e seriam necessários milhares de giros para saber.
É uma aposta de 2,70% como todas as outras. Ela muda a forma da sessão (um zero passa a ser um ganho) e não o custo.
Porque a distribuição das esperas é assimétrica: muitas esperas curtas, algumas muito longas.
Pausa para rir
Média 37, mediana 25, e uma cauda longa onde vivem as lendas.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.