Probabilidade de sequências
Sequências longas de uma mesma cor são comuns. E também não significam nada para o próximo giro.
Cinco vermelhos seguidos: 2,7%. Dez: 0,074%. Em uma sessão de 200 giros, uma sequência de seis da mesma cor aparece na maioria das vezes.
Com que frequência vem uma sequência de perdas
Uma aposta simples em uma roda de zero único perde 19 giros em 37. Cada linha é a probabilidade de todos os giros de uma dada sequência perderem, e o que um jogador de Martingale, que dobra após cada perda, já perdeu até ali.
| perdas seguidas | probabilidade | cerca de 1 em | já perdido | próxima aposta |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
A probabilidade é 19/37 multiplicado por si mesmo uma vez para cada perda, contada a partir de um dado giro. Uma sessão longa tem muitos giros em que uma sequência dessas pode começar, por isso ao longo de uma noite ela é muito mais provável do que uma linha sugere.
Sequência isolada
A probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de os próximos k giros serem todos vermelhosapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → é (18/37)ᵏ. Dois: 23,7%. Cinco: 2,7%. Dez: 0,074%, cerca de 1 em 1.350. Vinte: 1 em 1,8 milhão. Vinte e seis, o recorde de Monte Carlo: 1 em 137 milhões. Essas são as probabilidades de uma sequência específica começar em um giro específico, que é a pergunta que quase ninguém está realmente fazendo.
Em uma sessão
A pergunta que as pessoas têm em mente é “vai aparecer uma sequência de k em algum momento da minha sessão?”, e a resposta é muito maior do que (18/37)ᵏ, porque uma sessão de 200 giros oferece quase 200 pontos de partida para uma sequência. Uma sequência de seis ou mais da mesma cor, vermelho ou pretoapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo →, aparece em uma sessão de 200 giros em cerca de 94% das vezes; de oito ou mais, em cerca de 47%; de dez ou mais, em cerca de 14%. Se você escolher a cor de antemão, as probabilidades caem para cerca de 75%, 27% e 7%. Quem passa uma noite na mesa vai ver sequências longas todas as noites.
Por que isso importa para a Martingale
Toda progressãoestratégiaProgressãoQualquer regra que altera a aposta em função dos resultados anteriores. As progressões negativas a aumentam após as perdas; as positivas, após os ganhos.Ler tudo → negativa tem um comprimento de sequência que a quebra: seis perdas com base de $10 e limite de $500, dez no FibonacciestratégiaFibonacciProgressão que segue a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: um passo à frente após uma perda, dois passos atrás após um ganho.Ler tudo →, cinco ao triplicar nas dúziasapostaDúzia1–12, 13–24 ou 25–36, paga 2:1.Ler tudo →. A probabilidade de uma sequência de seis perdas em uma aposta simples é (19/37)⁶ ≈ 1,8% por tentativa, e uma sessão de 200 giros contém talvez 100 tentativas, por isso a quebra chega em cerca de quatro em cada cinco sessões dessa duração. As probabilidades das sequências são o motivo de o precipício não ser raro.
Números quentes e frios
A mesma aritmética vale para os plenosapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo →. Em 300 giros, a contagem esperada por número é de 8,1; o desvio padrãomatemáticaDesvio padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → é de cerca de 2,8. Algum número vai ter 15 acertos e algum vai ter 2 só por acaso, todas as vezes. Um painel de resultados que destaca números “quentes” está destacando o topo de uma distribuição normal. O Laboratório explica quantos giros são necessários para que um número quentemitoNúmero quenteUm número que saiu mais vezes que o esperado recentemente. Em uma roda equilibrada, não prevê nada.Ler tudo → signifique alguma coisa (milhares, de uma única roda identificada).
A independência é o essencial
Uma sequência de dez vermelhos não torna o preto mais provável, e também não torna o vermelho mais provável. Os dois são 18/37. Sequências longas são uma propriedade das sequências aleatórias, e sua ausência é que seria suspeita: uma série de 200 giros sem nenhuma sequência maior do que quatro seria um indício de adulteração muito mais forte do que uma com uma sequência de doze.
Fórmula
Perguntas
Os 26 pretos em Monte Carlo, em 18 de agosto de 1913, são o caso famoso. Foram relatados 32 vermelhos seguidos em um cassino americano em 1943. Os dois casos são compatíveis com o acaso, considerando quantos giros os cassinos realizam.
É 18/37 de qualquer jeito. Aposte o que seu plano indica, ou nada.
Não. O viés aparece como alguns compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: casela.Ler tudo → saindo mais vezes ao longo de milhares de giros, não como sequências de uma cor.
Matemática divertida
Tente resolver sozinho primeiro. Cada solução está escondida; abra quando estiver pronto.
Quantos giros de uma roda europeia são necessários, em média, até que cada um dos 37 números tenha saído pelo menos uma vez?
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Resposta Cerca de 155 giros em média; a mediana é 147.
Conte a espera um número novo de cada vez. O primeiro giro sempre mostra um número novo. Depois de ver 1 número, 36 compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: casela.Ler tudo → em 37 são novos, então o próximo número novo leva, em média, 37/36 giros. Depois de ver k números, leva 37/(37 − k).
Some as esperas: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 giros.
A maior parte disso fica no final. Só o último número leva, em média, 37 giros, e os cinco últimos cerca de 85. Em uma roda americana, a mesma soma dá cerca de 161. É o problema do colecionador de cupons; o Wizard of Odds dá a mesma média.
Em 37 giros de uma roda europeia, um giro para cada compartimento, quantos números diferentes você deve esperar ver?
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Resposta Cerca de 23,6. Mais ou menos um terço dos números, uns 13, não sai nenhuma vez.
Pegue um número, digamos o 17. Em cada giro, ele deixa de sair com probabilidade 36/37, então não sai em nenhum dos 37 giros com probabilidade (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Todo número tem a mesma probabilidade, então, em média, 37 × 0,363 ≈ 13,4 números ficam de fora e 37 − 13,4 ≈ 23,6 saem, muitos deles duas vezes ou mais.
Os jogadores de roleta chamam isso de lei dos terços. Não é lei nenhuma, só a aritmética das repetições: em uma série tão longa quanto a roda, cerca de um terço dos números fica de fora, em uma roda equilibrada como em qualquer outra. Em 38 compartimentos, a fração também é (37/38)³⁸ ≈ 0,363; para uma roda grande, ela se estabiliza perto de 1/e ≈ 0,368.
Um amigo mostra a você duas listas de 50 cores, vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → ou pretoapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo →, cada uma supostamente tirada de uma roda com os zerosrodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → deixados de fora. Uma muda de cor 25 vezes e a sua sequência mais longa é de seis. A outra muda 35 vezes e nunca passa de três seguidas. Qual delas foi inventada?
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Resposta A segunda. Uma lista real muda cerca de 24 ou 25 vezes. Uma com 35 mudanças aparece cerca de uma vez em 500 listas, e uma sem nenhuma sequência maior do que três, cerca de duas vezes em 100.
Cada nova cor ou repete a anterior ou muda, meio a meio, então 49 oportunidades de mudar dão 24,5 mudanças em média, com uma margem de cerca de 3,5 para mais ou para menos. Trinta e cinco está três dessas margens acima da média; uma roda equilibrada produz tantas mudanças cerca de uma vez em 500 listas.
As sequências contam a mesma história. Uma lista real de 50 tem uma sequência de quatro ou mais em cerca de 98% das vezes, e a sua sequência mais longa costuma ser de cinco ou seis.
As pessoas a quem se pede para inventar uma lista aleatória mudam de cor vezes demais, porque uma sequência de quatro ou cinco lhes parece um padrão. Taylor (2021) mostra o mesmo indício em listas de cara ou coroa inventadas por estudantes: a aleatoriedade real tem mais sequências do que as pessoas esperam.
Um livro de histórias de cassino fala de um jogador cujo número saiu cinco vezes seguidas e chama isso de recorde. Quão raro é isso em uma roda europeia? E com que frequência deveria acontecer em algum lugar de um cassino com 20 mesas, cada uma girando 40 vezes por hora, dia e noite?
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Resposta Um número escolhido de antemão cinco vezes seguidas: 1 em 69 milhões. Qualquer número saindo mais quatro vezes depois da primeira: 1 em 1,87 milhão. Esse cassino gira cerca de 7 milhões de vezes por ano, então deveria ver uma sequência de cinco três ou quatro vezes por ano.
Um número escolhido sai com probabilidade 1/37 a cada giro, então cinco vezes seguidas têm probabilidade (1/37)⁵ = 1 em 69.343.957. Mas ninguém escolhe o número de antemão. Seja qual for o primeiro número, os quatro giros seguintes precisam repeti-lo: (1/37)⁴ = 1 em 1.874.161.
20 mesas × 40 giros × 24 horas × 365 dias = 7.008.000 giros por ano. Cada giro pode começar uma sequência, então o cassino espera 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 sequências de cinco por ano.
Não existe recorde oficial desse tipo, e nenhum é necessário: um evento raro em uma mesa é rotina em um cassino inteiro, e as histórias são contadas sobre a mesa onde aconteceu. A história, em Goldman (2007), se passa em uma roda de duplo zero, onde os valores são 1 em 79 milhões e 1 em 2,09 milhões.
Pausa para rir
Sequências longas são a cara do aleatório.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.