Convergência a longo prazo
Como a média se acomoda em −2,70%, e por que isso demora mais do que a intuição sugere.
A perda média por giro converge para −1/37 à medida que os giros se acumulam, com uma dispersão que diminui como 1/√N. Depois de 1.000 giros no vermelho, a média costuma ficar a ±3% de seu valor esperado.
Lei dos grandes números
A média acumulada de apostas independentes tende ao valor esperadomatemáticaValor esperadoO resultado médio por aposta a longo prazo. −1/37 da aposta em todas as apostas padrão da roleta europeia.Ler tudo →. Depois de N giros de apostas simples de uma unidadedinheiroUnidadeA aposta base com que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para valerem em qualquer mesa.Ler tudo →, o resultado médio por giro tem valor esperado −1/37 e desvio padrãomatemáticaDesvio padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → 1/√N. Com N = 100, essa dispersão é de 10% da aposta, quase quatro vezes o sinal de 2,7%. Com N = 1.000, é de 3,2%, mais ou menos o mesmo que o sinal. Com N = 10.000, é de 1%, e a vantagem fica claramente visível. A vantagem é invisível em uma sessão e inconfundível em um ano.
O que converge e o que não converge
A média por giro converge. O total não: ele se afasta cada vez mais de zero à medida que N cresce, cerca de 2,7% de N em valor esperado, com uma dispersão de √N em torno disso. Um jogador que fez 10.000 giros de $10 deve estar perdendo $2.700, com uma margem de $1.000 para mais ou para menos. A proporção acumulada de vermelhosapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → já se estabilizou há muito tempo perto de 48,65%; o saldo acumulado não se estabilizou em lugar nenhum.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Por que a intuição falha
As pessoas esperam que a vantagem apareça rápido, porque 2,70% parece muito, e esperam que as sequências longas se “compensem”, porque a lei dos grandes númerosmatemáticaLei dos grandes númerosA média de resultados independentes converge para o valor esperado à medida que o número de tentativas aumenta.Ler tudo → diz que as médias convergem. As duas intuições avaliam mal a escala: a vantagem é pequena em relação à variânciamatemáticaVariânciaUma medida de quanto os resultados se espalham em torno do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler tudo → de um único giro (σ = 1 unidade contra VE = 0,027), por isso são necessários (1/0,027)² ≈ 1.400 giros para que ela se torne visível a um sigma. E a convergência da média não faz nada para puxar o total de volta; ela apenas dilui as flutuações passadas.
Convergência em outras apostas
Para os plenosapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo →, σ = 5,84, por isso o mesmo cálculo dá (5,84/0,027)² ≈ 47.000 giros para a vantagem chegar a um sigma. Um jogador de plenos pode jogar durante anos sem que a vantagem se distinga da sorte em seus próprios registros, pagando exatamente os mesmos 2,70% que o jogador do vermelho, que a enxerga em poucas semanas.
Implicação para testar sistemas
Quem afirma que um sistema funciona deve conseguir demonstrar isso ao longo de 10.000 giros ou mais, com uma média positiva documentada. Com 1.000 giros, uma média positiva em apostas simples é um evento de um em cinco sob a hipótese nula; com 100 giros, é quase um cara ou coroa. Os simuladores deste site executam 2.000 sessões da duração que você escolher em um segundo, o que é mais evidência do que qualquer depoimento.
Fórmula
Perguntas
A probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de voltar a ficar acima do valor inicial tende a zero à medida que você joga. O total desce sem limite.
Não. Significa que as flutuações passadas se tornam uma fração menor de uma amostra maior.
Em apostas simples, cerca de 10.000 até a vantagem ficar claramente visível. Em plenos, cerca de 50.000.
Matemática divertida
Tente resolver sozinho primeiro. Cada solução está escondida; abra quando estiver pronto.
Dois amigos jogam 20 rodadas de um jogo justomatemáticaJogo justoUm jogo em que nenhum dos lados tem vantagem: todas as apostas têm valor esperado zero.Ler tudo →, cara ou coroa ou vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → contra pretoapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo → com os zerosrodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → devolvidos, e mantêm um placar acumulado. Conte as rodadas em que cada um está na frente (um empate conta para quem liderava logo antes). O que é mais provável: que a liderança seja dividida 10 rodadas a 10, ou que um dos amigos lidere as 20?
Mostrar a solução
Resposta Um amigo liderar as 20 rodadas é muito mais provável: 35,2%, contando qualquer um dos dois, contra 6,1% para uma divisão igual de 10 a 10.
A probabilidade de um placar justo estar empatado depois de 2k rodadas é u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 depois de 10 rodadas e 0,176 depois de 20. Um resultado clássico, a lei do arco-seno, diz que a probabilidade de um amigo determinado liderar exatamente 2k de 2n rodadas é u(2k) × u(2n − 2k).
Liderar as 20: u(20) × u(0) = 0,176 para cada amigo, 35,2% para qualquer um dos dois. Uma divisão igual: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, a divisão menos provável de todas.
Assim, em um jogo justo a liderança raramente troca de mãos. Um jogador que esteve na frente a noite toda, ou atrás a noite toda, não viu nada de incomum, e isso não diz nada sobre a roda nem sobre habilidade. Epstein (2013) dá a mesma lei para jogos mais longos: em metade das vezes, o lado com mais sorte lidera durante mais de 85% do jogo.
Pausa para rir
A média converge. O total simplesmente vai embora.
Fontes
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.