Problema: A roda dos aniversários
Quantos giros até algum número se repetir? Muito menos do que a maioria das pessoas imagina.
O problema do aniversário em uma roda de 37 compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: casela.Ler tudo →: depois de apenas 8 giros, a probabilidade de algum número já ter saído duas vezes é maior que a metade. Os jogadores leem as repetições como padrões; elas são o comportamento esperado de uma roda equilibrada.
O problema
Gire uma roda europeia equilibrada. Quantos giros são necessários até que a probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de pelo menos dois giros terem dado o mesmo número passe de um meio? A maioria dos jogadores chuta algo em torno de 18 ou 19, metade de 37. A resposta é 8.
A solução
Calcule a probabilidade de não haver repetição e subtraia de um. Depois de k giros, p(todos diferentes) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Para k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, por isso p(alguma repetição) ≈ 0,56. Para k = 14, é 0,93; para k = 20, é 0,996. A intuição falha porque o número de pares de giros cresce como k², e qualquer par pode coincidir.
Por que isso importa na mesa
Um painel de resultados com os últimos 20 números quase sempre vai mostrar pelo menos uma repetição, muitas vezes duas ou três. Os jogadores veem “o 17 saiu duas vezes em dez giros” e concluem que o 17 está quente; a aritmética do aniversário diz que uma repetição em dez giros acontece em 74% das vezes e que o número repetido é aleatório. O padrão é real; o significado não é.
O problema seguinte
Quantos giros até um número específico, digamos o 17, ter saído duas vezes? É uma pergunta diferente, com uma resposta muito maior: a espera esperada é de 74 giros, e a probabilidade de dois 17 em 20 giros é de cerca de 10%. A diferença entre “algum número se repete” (8 giros) e “este número se repete” (74 giros) é toda a diferença entre um padrão que você nota depois e uma previsão que você faz de antemão.
Experimente
Rode o Jogo de demonstração por dez giros e olhe o histórico. Normalmente vai haver uma repetição. Rode de novo. O número repetido vai ser outro. Faça isso dez vezes e você terá visto o problema do aniversáriomatemáticaProblema do aniversárioQuantas pessoas são necessárias até que duas provavelmente façam aniversário no mesmo dia, ou quantos giros até que um número provavelmente se repita. Em uma roda de 37 compartimentos, 8 giros bastam para uma probabilidade maior que a metade.Ler tudo →; faça mil vezes (os simuladores conseguem) e você terá medido o problema.
Fórmula
Perguntas
Exatamente, com 37 compartimentos em vez de 365 dias. 23 pessoas dão 50% nos aniversários; 8 giros dão 56% na roda.
50% depois de cerca de 19 giros. Ainda é rotina.
Não. Milhares de giros de uma só roda sugeririam; uma repetição, nunca.
Matemática divertida
Tente resolver sozinho primeiro. Cada solução está escondida; abra quando estiver pronto.
Um painel de resultados ao lado de uma roda americana mostra os últimos 16 giros. Qual é a probabilidade de nenhum número aparecer duas vezes nele?
Mostrar a solução
Resposta Cerca de 2,5%: aproximadamente 39 painéis em 40 mostram pelo menos uma repetição.
Vá giro a giro. O primeiro giro pode dar qualquer número. O segundo precisa evitá-lo: 37 possibilidades em 38. O terceiro precisa evitar os dois: 36 em 38. O décimo sexto precisa evitar quinze números: 23 em 38.
Multiplique: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
O painel sem repetição é que é o raro. Um painel com uma repetição não diz nada sobre a roda.
Em dez giros de uma roda europeia, qual é a probabilidade de o 17 sair exatamente cinco vezes? De que algum número, qualquer um, saia cinco vezes ou mais? E de que algum número saia pelo menos três vezes em quatro giros?
Mostrar a solução
Resposta O 17 exatamente cinco vezes: 1 em 315.576. Algum número cinco vezes ou mais: cerca de 1 em 8.333. Algum número três vezes ou mais em quatro giros: 1 em 349.
17 cinco vezes: escolha quais cinco dos dez giros, 252 maneiras, cada uma com probabilidade (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Ao todo, 1 em 315.576.
Algum número: cada um dos 37 números tem uma probabilidade de 1 em 308.325 de sair cinco vezes ou mais, o que dá 37 em 308.325, ou 1 em 8.333. O caso raro de dois números com cinco acertos cada é contado duas vezes, mas tirá-lo não muda nada nessa precisão.
Três vezes em quatro giros: para um número, 4 × 36 + 1 = 145 dos 37⁴ resultados possíveis; para qualquer um dos 37 números, 145/37³ = 1 em 349.
O Wizard of Odds respondeu às versões dessas perguntas para a roda de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →; nossos números para essa roda são 1 em 359.275, 1 em 9.243 e 1 em 368. A diferença entre “17” e “algum número” é de novo o problema do aniversáriomatemáticaProblema do aniversárioQuantas pessoas são necessárias até que duas provavelmente façam aniversário no mesmo dia, ou quantos giros até que um número provavelmente se repita. Em uma roda de 37 compartimentos, 8 giros bastam para uma probabilidade maior que a metade.Ler tudo →: há 37 maneiras de se surpreender.
Pausa para rir
Algo se repete cedo. Esse algo é aleatório.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, perguntas sobre roleta.