Risco de ruína

A pergunta

Você tem a unidadesdinheiroUnidadeA aposta base com que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para valerem em qualquer mesa.Ler tudo → de bancadinheiroBancaO valor total reservado para jogar. A gestão de banca consiste em decidir quanto dela arriscar por aposta e por sessão.Ler tudo → e quer chegar a a + b unidades, apostando uma unidade por vez em uma aposta simplesapostaAposta simplesVermelho/preto, ímpar/par, alto/baixo. 18 números, paga 1:1.Ler tudo → com probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de ganho p = 18/37 e probabilidade de perda q = 19/37. Qual é a probabilidade de você atingir a meta antes de chegar a zero? A resposta foi calculada por Pascal, Fermat e Huygens na década de 1650 e é um dos resultados mais antigos da probabilidade.

Blaise Pascal

A fórmula da ruína do jogador

P(atingir a meta) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). O risco de ruínamatemáticaRisco de ruínaProbabilidade de perder a banca inteira antes de atingir uma meta ou um número de giros.Ler tudo → é um menos isso. Com q/p = 19/18 ≈ 1,0556, a razão cresce exponencialmente com o número de unidades, por isso a fórmula pune severamente as unidades pequenas: quanto mais apostas são necessárias para atingir a meta, mais vezes se paga o pedágio de 2,70% pelo caminho.

Como ler

Unidades pequenas atrapalham. Tentar dobrar $500 com apostas de $10 dá certo em 6% das vezes; com uma única aposta de $500, dá certo em 48,6% das vezes. O jogo ousado, com menos apostas e maiores, maximiza a probabilidade de atingir uma meta em um jogo de expectativa negativa, porque minimiza o número de vezes que a vantagem é aplicada. Ele também maximiza a variânciamatemáticaVariânciaUma medida de quanto os resultados se espalham em torno do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler tudo → do que acontece com você, e termina a noite rapidamente. O teorema se chama “o jogo ousado é ótimo” e foi demonstrado por Dubins e Savage em 1965.

Onde o problema começou

A pergunta é mais antiga que a roleta. Em 1656, Pascal propôs um enigma a Fermat: dois jogadores lançam três dados, cada um começando com 12 tentos; um lançamento de 11 move um tento para um lado, um de 14 para o outro. Os dois o resolveram, e Huygens, que soube dele por uma carta do matemático Pierre de Carcavi, o publicou em 1657 como o quinto problema do primeiro livro sobre probabilidade, com a resposta e sem demonstração. O onze pode sair de 27 maneiras e o catorze de apenas 15, então cada tento vai para o lado do primeiro jogador 9 vezes em 14, e a fórmula acima, com 12 tentos para cada um, torna cerca de 1.157 vezes mais provável que ele ganhe tudo do que perca tudo. Uma vantagem de 2,70% é muito menor, mas a mesma fórmula mostra o que ela faz ao longo de muitas apostas.

Uma aposta ousada de verdade

Em abril de 2004, Ashley Revell, um jovem inglês, vendeu quase tudo o que tinha, inclusive as roupas, e levou $135.300 ao Plaza, em Las Vegas. Depois de algumas apostas pequenas, colocou o valor inteiro no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →, uma única vez. A bolaequipamentoBolaA pequena bola lançada ao longo da pista no sentido contrário ao do rotor. As bolas modernas são de ivorine ou de Teflon, com 18–21 mm.Ler tudo → caiu no 7 vermelho e ele saiu com $270.600. Em uma roda de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →, esse único giro tinha probabilidade de 47,37% e lhe custava em média $7.121, a vantagem de 5,26% sobre uma aposta. Distribuída em apostas de $10, a mesma meta seria quase inalcançável. O jogo ousado não torna a aposta boa; só a torna o mais curta possível.

Risco de ruína sem meta

Se você simplesmente joga até esgotar a banca ou para depois de N giros, a pergunta passa a ser “qual é a probabilidade de minha banca chegar a zero em N giros?”. Não há fórmula fechada para um N qualquer, mas os simuladores deste site a calculam: uma banca de $500 com $10 no vermelho quase nunca se esgota em 100 giros (menos de 1%), se esgota em cerca de 9% das vezes em 500 giros e em cerca de 95% das vezes em 5.000. Sem regra de parada, a probabilidade tende a 100%, que é a versão a longo prazo da vantagem da casamatemáticaVantagem da casaA parte de cada aposta que o cassino retém em média: 2,70% na roleta europeia.Ler tudo →.

Convergência a longo prazo

Quanto tempo a banca dura, e até onde ela sobe

Mais dois resultados clássicos respondem a perguntas que os jogadores de fato fazem. Sem meta, apostas simples de valor fixo duram em média 37 giros por unidade de banca em uma roda europeia e 19 em uma americana, porque cada giro leva em média 1/37 de unidade (1/19 em uma roda americana): 100 unidades duram em média 3.700 giros, embora metade dessas sessões termine em até 3.134 (veja Duração e custo da sessão). E, por maior que seja a banca, a probabilidade, em uma roda europeia, de algum dia ficar k unidades acima do valor inicial é (18/19)ᵏ. Isso dá 95% para uma unidade e 58% para dez, mas nenhuma banca, por mais funda que seja, torna chegar algum dia a 13 unidades acima tão provável quanto não chegar; em uma roda americana, a probabilidade é (9/10)ᵏ e cai abaixo de metade em 7 unidades.

Duração e custo da sessãoRoleta americana

A banca para ter meio a meio

Inverta a pergunta: quanto você precisa trazer para ter pelo menos probabilidade de meio a meio de ganhar um valor dado antes de perder tudo? Para um ganho pequeno, não muito. Para um maior, a banca necessária sobe depressa, e a partir de certo ponto nenhuma banca basta, porque mesmo uma infinita dá menos do que meio a meio de algum dia chegar a esse ganho. Taylor (2021) coloca de outro jeito: em uma roda americana, para ter probabilidade de meio a meio de chegar a 100 unidades, você precisa começar com 94, arriscando 94 para ganhar 6. Em uma roda europeia, precisaria de 88.

A lição prática

Decida o que você está tentando fazer. Se o objetivo é um ganho específico, faça poucas apostas, de valor alto. Se o objetivo é uma noite longa, aposte valores pequenos e aceite que a vantagem vai ficar com seus 2,70% de um volume de apostasdinheiroVolume de apostasO valor total apostado ao longo de uma sessão ou de um período, contando os ganhos reapostados. Também: handle, action.Ler tudo → grande. Se o objetivo são as duas coisas, alguma coisa tem que ceder, e normalmente é a meta.

Fórmula

Perguntas